Nombre imaginaire et nombres complexes

L’impossible carré négatif

Vous-êtes vous déjà demandé quelles sont les solutions de l’équation x²+1=0?

Si des solutions existent, il doit être question d’un nombre dont le carré est égal à –1. Le problème c’est que le carré de tout réel est positif.

En effet, 2²=4 et –2²=4

Ou si vous préférez : x²=nombre positif et (–x)²= nombre positif.

L’équation x²+1 = 0 n’admet donc aucune solution dans l’ensemble des nombres réels. Mais existe-t-il des nombres au delà de l’ensemble R?

Si on veut que l’équation ait une solution, il le faut bien. En fait, il faut inventer de nouveaux nombres dont le carré soit négatif.

Ces nombres peuvent-il être?

La réponse à cette question est positive car en mathématique on peut toujours définir de nouveaux êtres tant que leur existence en tant qu’êtres mathématique ne vient pas compromettre l’existence d’êtres déjà présent. En respectant se principe, des mathématiciens ont donc créé (ou découvert) un nombre particulier dans le simple but d’obtenir un carré négatif. Nous voici en quelque sorte rendu au delà du réel!

Ce nouvel être est nommé «i» pour imaginaire. Certaines propriétés lui ont été assigné comme par exemple, i + i = 2 * i mais surtout, i²=-1.

Qui est le nombre i?

La réponse de Leibniz (1646 à 1716) est la suivante : «i est la racine imaginaire de l’unité négative».

Les mathématiciens s’accorde pour dire que cet être est un nombre.

Les nombres complexes

À la suite de i, on a créé les nombres complexes qui forment un nouvel ensemble nommé C. À l’aide de tout couple de nombres réels a,b, on définit un nombre complexe z.

z = a+ib

Dans cette équation, a est la partie réel et b, la partie imaginaire. Un nombre complexe est dit réel si sa partie imaginaire est nulle, et imaginaire pur si sa partie réelle est nulle.

Le plan complexe

C’est en 1797 que Caspar Wessel proposa une représentation graphique des nombres complexes. Puis, en 1806, Jean Robert Argand fit de même.

Si les nombres réels ont été représenté sur la droite des réels, les nombres complexes, le sont sur le plan complexe. Chaque nombre (a,b) est donc représenté par le point M correspondant à l’intérieur du plan complexe. Sur ce plan, le nombre i n’est pas situé sur l’axe des réels mais plutôt positionné sur l’autre axe à une distance d’une unité de l’origine. i est donc représenté par le couple (0,1).

Calculer avec les nombres complexes

Il faut pour cela, définir les principales opérations comme l’addition et la multiplication..

addition : (a,b)+(c,d) = (a+c,b+d)
multiplication : (a,b)(c,d) = (ac-bd,ad-bc)

Élevons maintenant le couple (0,1) ou si vous préférez, le nombre i, au carré puisque comme nous le savons, i²=-1.

(0,1)(0,1)
(0*0 – 1*1, 0*1 – 1*0)

ce qui donne : (-1,0)

soit le nombre réel –1.

En conclusion, les nombres complexes sont aujourd'hui utilisés dans plusieurs domaines comme par exemple, la physique. Ils ont aussi ouvert la voie à la création d'autres nombres comme les hypercomplexes, les quaternions ou encore les nombres p-adiques.

Auteur : Sylvain Bilodeau

Date de mise en ligne : 2003-09-12

Réagir à cet article