Notions de base sur les fonctions

Dans la vie courante, nous pouvons établir des relations entre différents objets, situations, processus etc. Par exemple, à une fleur, nous pouvons associer un nombre de pétales, à une automobile qui se déplace, sa vitesse ou encore, à un ordinateur, la rapidité de son micro-processeur.

En fait, toutes ces associations peuvent être décrite en disant qu’un ensemble d’objets est mis en correspondance avec un second ensemble à l’aide de ce que l’on appelle, une règle ou encore, une loi de correspondance.

Lorsqu’un ensemble A est mis en relation avec un ensemble B, on écrit :

On peut définir grossièrement une fonction (en terme mathématique bien entendu) comme une formule mathématique qui donne un résultat différent selon le paramètre qu’on lui passe.

Voici un exemple de fonction :

Dans cet exemple, x est le paramètre et 2x+1 est la formule de la fonction. Si x vaut 2, la fonction retournera le résultat 5. Si x vaut 3, la fonction retournera 7 etc.

Lorsqu’on représente une fonction sur un graphique, les valeurs du paramètre x sont présentées sur l’axe des x et les valeurs du résultat de la fonction sont affichées sur l’axe des y. On note souvent un point sur une représentation graphique d’une fonction par (x,f(x)), f(x) représentant en fait, y.

Les opérations sur les fonctions

Pour f :R->R et g :R->R, les opérations sur les deux fonctions sont définies de la façon suivante :

La composition de fonctions

Pour f :R->R et g:R->R, la composition de

est une fonction de R dans R définie de la façon suivante :

En somme, on remplace tout ce qui se trouve entre les parenthèses de la première fonction par la valeur de la seconde fonction.

La limite

On dit que L est la limite d’une fonction f lorsque x tend vers a (une valeur quelconque de l’axe des x) si les valeurs de f(x) s’approchent de L lorsqu’on donne à x des valeurs à gauche et à droite de a de plus en plus prêt de a mais différentes de a. On note la limite de la façon suivante :

Quand x tend vers a il se peut que les valeurs de f(x) ne tendent vers aucun nombre. Dans un tel cas, on dit que la limite de la fonction n’existe pas lorsque x tend vers a.

Le voisinage

Un voisinage v(a) représente toute intervalle ouvert ] x1, x2 [ contenant ce point. Ainsi, le voisinage de a est :

où x > x1 et x < x2

Il existe plusieurs type de voisinage comme par exemple, le voisinage troué :

où x > x1 et x < x2 et x n’est pas égal à a

Le voisinage symétrique :

où x > a-s et x < a+s

Note sur la limite et le voisinage : Il est à noter qu’il est impossible de chercher la limite d’une fonction lorsque un point dont le voisinage, qu’il soit troué ou non, est inclus dans le domaine de la fonction.

Limite à gauche et à droite

L est la limite à gauche ou à droite d’une fonction f lorsque x tend vers a si les valeurs f(x) tendent vers L quand on donne à x des valeurs à gauche ou à droite de a, qui se rapproche continuellement de a, mais qui reste différentes de a.

On note la limite à gauche de cette façon :

et la limite à droite, de cette façon :

Voici une illustration graphique des différents types de limite :

Lorsque x tend vers a à gauche, la limite de la fonction vaut p car l’axe des ordonnées se dirige vers le point p

Lorsque x tend vers a à droite, la limite vaut r

Et en terminant, lorsque x tend vers a, on dit que la limite n’existe pas.

Continuité d’une fonction

Pour être continue, une fonction doit remplir 3 conditions :

• La limite de la fonction f lorsque x tend vers a existe.
• Cette limite est égale à f(a).
• f(a) existe, c’est à dire qu’on trouve un point (a, f(a)) sur le tracé graphique de la fonction. On dit en somme que a appartient au domaine de f.

Limite infinie

On dit que la limite d’une fonction est infinie quand f(x) augmente ou diminue sans fin lorsque x tend vers a, sans jamais atteindre a.

On note la limite infinie de la façon suivante :

Représentation graphique de la limite infinie (quand x tend vers x₁):

Limite à l’infinie

La limite d’une fonction est à l’infinie lorsque les valeurs de f(x) tendent vers L quand x augmente ou diminue sans fin.

On note la limite à l’infinie de la façon suivante :

Représentation graphique de la limite à l’infinie :

Limite infinie à l’infinie

La limite d’une fonction est dite infinie à l’infinie quand f(x) augmente ou diminue sans fin lorsque x augmente ou diminue sans fin.

On note la limite infinie à l’infinie de la façon suivante :

Les asymptotes

Lorsqu’un point P(x,f(x)) se déplace à l’infini sur une courbe en un sens particulier et qu’il s’approche de plus en plus d’une certaine droite sans jamais atteindre celle-ci, on dit que cette droite est une asymptote.

Représentation graphique :

Dans le graphique ci-dessus, la droite y=b est une asymptote horizontale de f dans le cas où lorsque x tend vers l’infini, la limite de f(x) est égale à b (c’est une limite à l’infini).

Les sécantes

Une droite est appelée sécante lorsque celle-ci coupe le graphique d’une fonction en au moins un point.

Représentation graphique d’une sécante :

Les tangentes

La tangente est une droite vers laquelle tendent les sécantes passant par les points (x,f(x)) et (a,f(a)) quand x tend vers a sans jamais l’atteindre.

Représentation graphique d’une tangente à gauche :

Le terme delta

Le signe Δ est prononcé delta. Δx représente la variation de x quand celui-ci augmente ou diminu de x = x₀ à x = x₁. Δx est la différence entre x₁ et x₀. On peut écrire :

Le taux de variation

Le taux de variation est la base même du calcul différentiel. Le taux de variation moyen d’une fonction est représenté par :

Le taux de variation permet par exemple de calculer la vitesse moyenne d’un corps en chute libre durant une certaine intervalle de temps.

Exemple d’application du taux de variation :

• La variation de la grandeur d’un enfant se mesure par le taux de variation de la hauteur de l’enfant par rapport au temps.
• La variation d’une population se mesure par le taux de variation du nombre d’individus par rapport au temps.
• La vélocité se calcule par le taux de variation de la position de l’objet en mouvement par rapport au temps.
• L'accélération ou la décélération se mesure par le taux de variation de la vélocité par rapport au temps.

Note : Le taux de variation, bien que souvent exprimé en fonction du temps, ne l’est pas toujours. Par exemple, le volume d’une sphère vari selon la longueur du rayon.

Exemple illustrant le taux de variation moyen :

La vélocité

Imaginons une automobile qui se déplace en ligne droite. Admettons qu’à tout moment nous connaissons sa position en terme de déplacement par rapport à un certain point de la droite. On notera : p = p(t) la position de l’automobile en fonction du temps. On dit que sur une intervalle :

la variation du déplacement est :

et :

est le déplacement par unité de temps. Ceci représente la vélocité de l’automobile sur l’intervalle de temps t₁ à t₁ + Δt.

De cette façon, si : t₁,p(t₁) = 80 km

et que : t₁ + 4 heures, p(t₁ + 4 heures) = 400km

alors :

Représentation graphique du taux de variation :

Sur ce graphique, la vélocité (taux de variation) est représentée par la pente de la droite passant par les deux point de la courbe.

Taux de variation moyen et taux de variation instantané

L’exemple ci-dessus illustrait comment trouver la vitesse moyenne d’un véhicule entre deux points. Ceci équivaut au taux de variation moyen et est représenté graphiquement par une sécante traversant la courbe en deux points. Si nous aurions désiré trouvé la vitesse exacte de la voiture en un point précis, il aurait alors été question du taux de variation instantané. Illustré graphiquement, le taux de variation instantané est présentée comme une tangente. Notez que le taux de variation instantané et la dérivée sont équivalents.

La dérivée

La dérivée d’une fonction f en un point a est la pente de la tangente au graphique de la fonction au point (a,f(a)) soit :

Elle est aussi définie par :

Cette limite est la vitesse de variation de y par rapport à x=a.

Voici un exemple de calcul de la dérivée en un point :

On a une fonction :

Voici le déroulement du calcul :

En utilisant les identités remarquables, on peut transformer ainsi :

Auteur : Sylvain Bilodeau

Date de mise en ligne : 2003-04-27

Réagir à cet article