L’algèbre élémentaire

À la base de l’étude de l’algèbre :

• on parle de quantités inconnu,
• on forme les règles du calcul algébrique du genre a + b = b + a,
• on forme des équations et on étudie comment les résoudre,
• on forme des fonctions mathématiques comme par exemple, si vous vendez x oranges, alors votre entreprise de vente d’oranges fera 10*x profits.

Voici les formules algébriques élémentaires

Distributivité

La distributivité consiste en la règle suivante :

Pour n'importe quel nombres a, b et c, les égalités suivantes sont vraies.

a * (b+c) = (a*c) + (b*c)

Si on l'écrit différemment , on appelle alors "la mise en évidence"

(a*c) + (b*c) = a * (b+c)

Identités remarquables

Les trois relations représentées ci-dessous sont les identités remarquables. Elles peuvent être utilisées dans de nombreux calculs algébriques. Notez que le résultat de la première d’entre elle s’obtient avec la loi de la distributivité.

(a+b)(a-b) = a²-b²
(a + b) ² = a²+ 2ab + b²
(a - b) ² = a² - 2ab + b²

Puissance

La puissance à l’exposant positif représente le nombre de fois qu’un nombre est multiplié par lui-même.

Par exemple, si a est élevé à la puissance 3, noté a³, cela est égal au produit de a*a*a.

L’exposant négatif est l’inverse de l’exposant positif

Si a est élevé à la puissance –3, noté a^-3, cela est égal à 1/a³.

Quelques normes

• On appel a² le carré de a
• On appel a³ la puissance cubique de a
• a⁰ est toujours égal à 1
• 0^a est toujours égal à 0

Opérations algébriques sur les puissances

Équation

Une équation représente une égalité entre deux quantités algébriques. Cette égalité contient des inconnues dont on cherche les valeurs qui la vérifient.

Voici quelques exemples d’équations :

a+1 = 2
2*(7+x) = 16
a+b*2 = 30

L’inconnu dans une equation peut porter le nom que l’on souhaite. On le représente généralement par une lettre alphabétique qui souvent est significative. Par exemple, dans le cas d’une équation où l’inconnu est le rayon d’un cercle, on donnera à celui-ci la lettre r.

La résolution d’équations

Résoudre une équation, c'est trouver la ou les valeurs de ou des inconnues telles que l'égalité soit vraie. Il existe une série de règles simple qui, lorsque suivie, permettent de résoudre des équations.

Règles dans la résolution d’équation

Les quantités égales à une même quantité, sont égales entre elles.

    Si a=b et si b=c alors a=c

On a le droit d'ajouter, de soustraire, de multiplier ou de diviser des quantités égales de chaque côté d'une égalité.

    Exemple : Dans l’équation a+b = c, on peut ajouter 5 de chaque coté (5+a+b = c+5) sans altérer l’équation.

Les types d’équations

Il existe plusieurs types d’équations. En voici quelques exemples :

• Équation du premier degré : ramène à une équation du type ax=b
• Équation du second degré : se ramène à x²+bx+c=0
• Équation différentielle : f"(x)-f(x)=3
• Équation fonctionnelle : fonction inconnue f et ses variables, composé avec des opérationscomme dans l’exemple suivant : f(a*b)+f(a)=f(a)*f(b)

Auteur : Sylvain Bilodeau

Date de mise en ligne : 2004-06-21

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