Atelier sur le téléscope spatial Hubble

Enoncé

Le télescope Hubble est un instrument optique américain et européen permettant d’observer la lumière dans les domaines visible, infrarouge et ultraviolet. Il est placé en orbite autour de la Terre à une altitude de 580 km évitant ainsi les perturbations dues à l’atmosphère terrestre. Le télescope proprement dit comprend un miroir primaire parabolique concave qui renvoie la lumière incidente sur un miroir secondaire hyperbolique convexe. Ces deux miroirs sont placés dans une configuration dite de Cassegrain. La lumière ainsi récoltée par des caméras ou des spectrographes est ensuite renvoyée pour observation et étude sur la Terre.

On se propose dans cet exercice d'étudier le principe d'un télescope du type Cassegrain, dans lequel les miroirs parabolique et hyperbolique sont remplacés par des miroirs sphériques, dont les caractéristiques proposées permettent de modéliser correctement le télescope spatial Hubble. Cet appareil, utilisé dans les conditions de Gauss, comporte :

Un miroir objectif sphérique concave (M₁ ), de sommet S₁ et de rayon R₁ (R₁ = 11,025 m), percé d'une petite ouverture centrale derrière laquelle on place un oculaire ou une caméra.

Un petit miroir sphérique convexe (M₂ ), de sommet S₂ et de rayon R₂ (R₂ = 1,355 m), qui envoie vers l'oculaire (ou la caméra) la lumière réfléchie sur l'objectif (M₁ ). La distance entre les sommets des miroirs est S₁S₂ = 4,900 m.

1. On considère un objet lumineux O ponctuel à l'infini sur l'axe. Déterminer son image O’ après réflexion des rayons lumineux sur (M₁ ) puis (M₂ ).

2. Soit un objet lumineux AB étendu situé à l'infini et centré sur l’axe optique, de diamètre apparent 2a. Déterminer les caractéristiques (position et grandissement) de son image A’B’. Faire l'application numérique pour a = 1 seconde d'arc.

Aurores boréales sur Saturne, photo prise par le télescope Hubble (NASA).

3. En admettant que le système des deux miroirs est équivalent à une lentille mince, déterminer la position du centre C de la lentille et sa distance focale image f' (on pourra utiliser une construction géométrique simple). Commentaires.

Solution

1. On utilise la méthode des images intermédiaires : l’image à travers le miroir primaire (M₁ ), d’un point O situé à l’infini sur l’axe optique des deux miroirs, est le foyer image F₁ de celui-ci, défini par . L’image O’ de F₁ par le miroir secondaire (M₂ ) est ensuite donnée par la formule de conjugaison de ce miroir avec origine au sommet S₂ :

Avec et , on calcule alors puis : l’image se forme pratiquement à 1,5 m derrière le miroir primaire (M₁ ).

2. L’image A’B’ à travers le télescope d’un objet AB situé à l’infini et centré sur l’axe optique est située dans le plan de front contenant le point O’ déterminé à la question précédente (propriété d’aplanétisme approché des miroirs sphériques dans les conditions de Gauss), c’est-à-dire dans le plan perpendiculaire à l’axe optique et contenant O’.

Afin de caractériser cette image, on utilise là encore la méthode des images intermédiaires : l’image intermédiaire A_iB_i de l’objet AB à travers le miroir primaire (M₁ ) se forme dans le plan focal de celui-ci et mesure , où l’angle a doit ici être exprimé en radian (voir figure ci-dessous).

Le grandissement (avec origine au foyer) de l’image intermédiaire A_iB_i à travers le miroir secondaire (M₂ ) est ensuite donnée par :

d'où

Soit finalement, avec , et a exprimé en radian, soit , la taille de l’image définitive A’B’ :

3. La figure suivante précise les notations : si f' désigne la distance focale objet de la lentille équivalente au système optique constitué des deux miroirs, alors la taille de l’image A’B’ peut s’exprimer sous la forme , soit, en utilisant l’expression précédente de la taille de l’image définitive A’B’ :

Le centre C de cette lentille étant alors situé en avant de O’ (confondu avec le foyer image de la lentille) et tel que .

L’utilisation de la configuration de Cassegrain permet d’obtenir une distance focale équivalente supérieure à celle du miroir primaire (et donc des images de taille plus importante) tout en construisant un système optique de dimensions raisonnables (la longueur du télescope Hubble, de l’ordre de 13 m, est bien inférieure à f' = 57,5m !).